Factores de Pago Único (F/P Y P/F)
Si P se invierte cuando t=0,
la cantidad F1 acumulada en un año, a una
tasa de interés i por ciento anual será:
F1 = P + Pi = P (1+i)
Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal
Al final del segundo año, se tiene:
F2 = F1 + F1i = P(1+i) + P(1+i)i
La cantidad F2 se expresa como:
F2 = P(1+i+i+i2) =
P(1+2i+i2) = P(1+i)2
La
cantidad de dinero acumulada al final del año 3:
F3 = F2 + F2i
Al
sustituir P(1+i)2 por
F2 y simplificar, se obtiene:
F3 = P(1+i)3
La
fórmula puede generalizarse para n años:
Fn = P(1+i)n
El factor
(1+i)n se denomina factor de cantidad compuesta de pago
único (FCCPU) o factor F/P.
Si se
invierte la fórmula se obtiene:
α
A esta expresión se conoce como: factor de valor
presente de pago único, o factor P/F.
Diagrama de flujo de efectivo
Se ha adoptado la notación estándar que
incluye dos símbolos de flujo de efectivo, la tasa de interés y el número de
periodos.
La forma general es (X/Y, i, n).
La literal X representa lo que se busca;
mientras que la literal Y representa lo que está dado.
Por ejemplo, F/P significa encuentre F
cuando P está dado.
La i es la tasa de interés en porcentaje
y n representa el número de periodos implicados.
Luego, (F/P, 6%, 20) representa el
factor que encuentra la cantidad futura F acumulada en 20 periodos si la tasa
de interés es de 6% por periodo. La P está dada.
Ejemplo, calcular el valor del factor (P/F,5%,10).
Factor de Valor Presente en una Serie Uniforme (P/A)
El valor presente P equivalente de una
serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo, se determina
considerando cada valor de A como un valor futuro F:
Los términos entre corchetes representan los factores (P/F) para los años 1 hasta n, respectivamente. Si se factoriza A:
Para simplificar y obtener el factor P/A, multiplicar esta ecuación por el factor P/F, es decir 1/(1+i):
Se resta la ecuación β de la ecuación γ y se simplifica:
Continuando con la Simplificación de la ecuación anterior:
Enseguida, en la ecuación anterior se despeja
P:
Aparece el factor valor presente serie uniforme (FVPSU)
Para todo i ǂ 0
Factor
Recuperación Capital en Serie Uniforme (A/P)
Se
conoce el valor presente P y se busca la cantidad equivalente A de serie
uniforme. Entre corchetes aparece el factor de recuperación de capital (FRC):
Diagrama
de flujo de efectivo
Factores P/A y A/P
La función VA también calcula el valor P para una A dada:
=VA(i%,n,A,F)
De
manera similar, el valor A se determina utilizando la función PAGO:
=PAGO(i%,n,P,F)
Factor
de Fondo de Amortización (A/F)
La
forma más simple de derivar el factor A/F consiste en sustituirlo en aquellos
ya desarrollados.
Si P de la ecuación α se sustituye en la ecuación ε resulta:
Si P de la ecuación α se sustituye en la ecuación ε resulta:
Entre
corchetes se tiene al factor de fondo de amortización o A/F, el cual determina
la serie de valor anual uniforme que sería equivalente a un valor futuro
determinado F.
La
serie uniforme A se inicia al final del periodo 1 y continua a lo largo del
periodo de la F dada
Factor
de Cantidad Compuesta Serie Uniforme
(F/A)
La
ecuación η
puede reordenarse para encontrar F para una serie A dada en los periodos 1 a n.
El
término entre corchetes se denomina factor de cantidad compuesta, serie
uniforme (FCCSU), o factor F/A.
Diagrama
de flujo de efectivo
Factores
F/A y A/F
La
función VF determina F para una serie A durante n años
=VF(i%,n,A,P)
En
la función PAGO puede omitirse P separando con un espacio en blanco entre
comas.
=PAGO(i%,n,P,F)
Interpolación
de Tablas de Interés
Cuando
es necesario localizar el valor de un factor i o n que no se encuentra en las
tablas de interés, el valor deseado puede obtenerse mediante la interpolación
lineal entre los valores tabulados.
Se
escribe una ecuación de razones a/b = c/d y se despeja c.
a,
b, c y d representan la diferencia entre los números que se muestran en las
tablas de interés.
El
valor de c se suma o se resta del valor 1, dependiendo de si el valor del
factor esta aumentando o disminuyendo
Gradiente
Aritmético
Gradiente
aritmético (G) es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en
una cantidad constante.
El
flujo de efectivo al final del año 1 no forma parte de la serie del gradiente,
sino que es una cantidad base.
El
flujo efectivo en el año n se calcula como:
CFn
= cantidad base + (n-1) G
Si
se ignora la cantidad base, se construye un diagrama de flujo de efectivo
generalizado de gradiente aritmético (gradiente convencional).
Factor
de Gradiente Aritmético P/G
En
la figura α
el valor presente en año 0 sólo del gradiente es igual a suma de valores
presentes de pagos individuales, donde cada valor se considera como una unidad
futura:
P=G(P/F,i,2)+2G(P/F,1,3)+3G(P/F,i,4)+…..+[(n-2)G](P/F,i,n-1)+[(n-1)G](P/F,i,n)
Factorizando
G y aplicando la fórmula P/F:
Al
multiplicar ambos lados de θ
por (1+i)1 se obtiene:
Restar
la ecuación θ
de la ecuación κ y
simplificar:
La
expresión entre corchetes (de la izquierda) es igual a la ecuación β, donde se derivó P/A. Sustituir la
forma cerrada de P/A de la ecuación δ en la ecuación λ y despejar P:
La
ecuación μ,
es la relación general para convertir un gradiente aritmético G (sin incluir la
cantidad base) para n años en un valor presente en el año 0.
En
la figura β
se observa como se convierte un gradiente aritmético a un valor presente
Factor
valor presente de gradiente aritmético o factor P/G:
La
ecuación ν,
expresada como una relación de ingeniería económica tiene la forma:
P
= G(P/G,i,n)
Factor
de Gradiente Aritmético A/G
La
serie anual uniforme equivalente (A) de un gradiente aritmético G se calcula
multiplicando el valor presente de la ecuación π por la expresión del factor (A/P,i,n)
El
equivalente de la cancelación algebraica de P se utiliza para obtener el factor
(A/G,i,n):
A=G(P/G,i,n)(A/P,i,n)=G(A/G,i,n)
La
expresión entre corchetes en la ecuación ρ se denomina el factor de gradiente aritmético de una
serie uniforme y se identifica por (A/G,i,n).
Diagrama
de conversión de una serie gradiente aritmético a una serie anual uniforme
equivalente:
Factores
de Gradiente Aritmético F/G
El
factor F/G (factor gradiente aritmético, valor futuro) se puede derivar al
multiplicar los factores P/G y F/P.
El
factor resultante (F/G,i,n) (entre corchetes) es:
El
valor presente total PT para una serie gradiente debe considerar por
separado la base y el gradiente:
- La cantidad base es la cantidad A de serie uniforme que empieza en el año 1 y se extiende hasta el año n. Su valor presente se simboliza con PA
- Para un gradiente creciente, la cantidad gradiente debe agregarse a la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es PG
- Para un gradiente decreciente, la cantidad gradiente debe restarse de la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es –PG
Las
ecuaciones generales para calcular el valor presente total PT de los
gradientes aritméticos convencionales son:
PT
= PA + PG
y PT = PA
– PG σ
De
manera similar, las series anuales totales equivalentes:
AT = AA + AG y AT = AA – AG τ
Donde
AA es la cantidad base anual y AG es la cantidad anual
equivalente de la serie gradiente.
Factores
para Series Gradiente Geométrico
Una
serie gradiente geométrico de flujos de efectivo, aumenta o disminuye entre
periodos mediante un tasa de cambio uniforme. Además de i y n se necesita el
término:
g
= tasa de cambio constante, en forma
decimal, en la cual las cantidades aumentan o disminuyen entre periodos
Diagrama
de flujo de efectivo para series gradiente geométrico con tasa uniforme de
aumento o disminución
La
serie empieza en el año1 a una cantidad inicial A1, la cual no se
considera una cantidad base.
El
valor presente total Pg para toda la serie, se deriva al multiplicar
cada flujo en la figura γ
por: 1 / (1+i) n
Se multiplican ambos lados por (1+g) / (1+i), se resta la ecuación σ del resultado, se factoriza Pg y se obtiene:
Se
despeja Pg y se simplifica:
g ≠ i
El
término entre corchetes de la ecuación τ es el factor de valor presente de la serie gradiente
geométrico para valores de g que no son iguales a la tasa de interés i.
La
notación estándar usada es (P/A,g,i,n).
Cuando
g=i, sustituya i por g en la ecuación σ:
El
término 1/(1+i) aparece n veces, de modo que:
En
resumen:
Pg
= A1 (P/A,g,i,n)
Cálculo
de Tasas de Interés Desconocidas
Este
caso consiste en que se conoce la cantidad de dinero depositado, la cantidad de
dinero recibido y el número de años, pero se desconoce la tasa de interés o la
tasa de rendimiento. Una de las funciones más útiles de todas las disponibles
para resolver este problema es la tasa interna de rendimiento (TIR):
=TIR(primera_celda:última_celda,
estimar)
primera_celda:última_celda: es un
rango de celdas (matriz), que contiene los números para los cuales se desea
calcular la TIR.
Asegúrese de introducir los valores en el orden correcto.
estimar: es un estimado
de la TIR por parte del usuario. Si se omite, se supondrá que es 0.1 (10%).
Ejemplo:
Otra función útil es TASA, es una alternativa a TIR:
=TASA(n,A,P,F,tipo,estimar)
El valor F no incluye el valor
A que ocurre en el año n.
No es necesario ingresar cada
flujo de efectivo.
Esta función debe utilizarse
siempre que exista una serie uniforme durante n años con valores asociados a P
y/o F.
Ejemplo: Determinar la tasa
para un préstamo de S/.6000 con pagos anuales de S/.1500 durante 5 años.
Cálculo del Número de Años desconocidos
La función NPER de la hoja de
cálculo es útil para encontrar el número de periodos (años) n para valores
dados A, P y/o F:
=NPER(i%,A,P,F)
Ejemplo: Determinar el número
de periodos para un préstamo de S/.7500 con cuotas de S/.1200 y una tasa de
interés del 7%.
Análisis de Sensibilidad Básico
Una empresa ya ha invertido
$500 000 en un proyecto este año (t=0) y espera gastar $500 000 anualmente
durante los siguientes 4 años, y posiblemente durante más años:
- Suponer que se gasta $500 000 sólo durante 4 años adicionales. Si la empresa vende en $5 millones los derechos para usar la nueva tecnología al final del año 5. ¿Cuál es la tasa de rendimiento anticipada?
- Se estima que se necesita $500 000 por año durante más de 4 años adicionales. ¿Cuántos años a partir de hoy, tiene que finalizar el trabajo de desarrollo y recibir $5 millones por derechos de patente y obtener al menos 10% por año? Suponer que $500 000 al año se gastan a lo largo del año anterior a la recepción de $5 millones.
Solución:
La función TIR se emplea a lo
largo de toda la solución.
- La función TIR(B5:B10) en la celda B13 despliega i=24.07%, advierte que existe un flujo de efectivo de $ -500 000 en el año 0. El equivalente es gastar $500 000 hoy y $500 000 cada año durante 4 años más, equivale a recibir $5 millones al final del año 5, cuando la tasa de interés es de 24.07% anual.
- Halla la i para un # de años en que se gasta $500 mil. Las celdas C13 y D13 presentan resultados de funciones TIR con flujo de efectivo de $500 mil en diferentes años, encontrándose rendimientos en lados opuestos de 10%. Luego, los $5 millones se deben recibir en algún momento previo al final del año 7 para lograr más rendimiento que el 8.93% de la celda C13. La empresa tiene menos de 6 años para completar su trabajo.
