El Valor del Dinero a través del Tiempo
En la frase: “El
dinero de hoy no tiene el mismo valor que el dinero en el futuro o en el pasado”,
se expresa que el poder adquisitivo del dinero se reduce conforme se
avanza en el tiempo, causado por la inflación y otros.
Si el recurso económico
es prestado por alguien, quien tiene todo el interés de que en el futuro le sea
devuelta esa misma cantidad de dinero, requiere que se le premie razonablemente
por ese préstamo.
Interés
Interés es la manifestación del valor de
dinero en el tiempo.
Desde una perspectiva de cálculo, el interés
es:
Interés = cantidad que se debe ahora – cantidad original
Si la diferencia es nula o negativa, no hay
interés.
Existen dos variantes del interés:
Interés pagado: El interés se paga cuando una persona u
organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad
mayor.
Interés ganado. El interés se gana cuando una persona u
organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.
Tasa de Interés
Tasa de interés (TI) es el interés
pagado con respecto a una unidad de tiempo específica, se
expresa como % de la suma original o valor del préstamo (principal).
La unidad de tiempo de
la tasa es el periodo de interés.
El tiempo de interés más
común es de un año.
Es posible considerar periodos de tiempo más
cortos.
Si tan sólo se fija la tasa, por ejemplo: 8%,
se dará por supuesto un periodo de interés de un año.
La cantidad total a pagar se
calcula así:
Adeudo total = principal
(1 + tasa de interés)
Tasa de Rendimiento
Tasa de rendimiento (TR) es el interés
ganado con respecto a una unidad de tiempo específica, se
expresa como porcentaje de la cantidad original (principal).
También en diversas industrias y escenarios,
se denomina: rendimiento sobre la inversión (RSI), en particular cuando se
asignan grandes fondos de capital.
Aunque los valores numéricos de la TI y de la
TR son los mismos, la TI es más adecuado para la perspectiva del prestatario y
la TR es mejor desde la perspectiva del inversionista (tasa de retorno).
Equivalencias
Equivalencia
económica, implica que dos sumas diferentes de dinero en
diferentes tiempos tienen el mismo valor económico.
Por ejemplo, si la tasa
de interés es de 8% anual, S/.100 hoy (tiempo presente) equivalen a S/.108 un
año después.
Cantidad acumulada = 100
+ 100 (0.08)
= 100 (1 +
0.08) = S/.108
Un total de S/.100 ahora
equivale a S/.100/1.08 = S/.92.59 hace un año a una tasa de interés de 8%
anual. Es decir, S/. 100 – S/. 92.59 = S/. 7.41 de interés.
Interés Simple
El interés simple total
se calcula de la siguiente manera:
Interés = (principal)(número de periodos)(tasa
de interés)
Donde la tasa de interés
se expresa en forma decimal.
Ejemplo: Se otorgó un
préstamo que asciende a S/.10 000 por tres años con un interés simple de 6%
anual. ¿Cuánto pagará el cliente al final de los tres años?
Solución
Interés total = 10 000
(3) (0.06) = S/. 1800
Adeudo total = S/.10 000
+ 1 800 = S/.11 800
El interés que se adeuda
cada año se calcula exclusivamente sobre el principal de S/.10 000.
El tiempo cero
representa el presente (otorga el préstamo).
No se hacen pagos sino
hasta que concluya el tercer año.
Cálculo del interés
simple
Interés Compuesto
En el caso del interés
compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre
el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos
anteriores.
Así el interés compuesto
es un interés sobre el interés.
También refleja el efecto
del valor del dinero en el tiempo sobre el interés.
El interés para un
periodo ahora se calcula de la siguiente manera:
Interés = (Principal +
todos los intereses acumulados)
(Tasa de interés)
Ejemplo: Se solicita un préstamo
de S/.10 000 con un interés anual compuesto de 6%. Calcular el adeudo total
después de tres años. Elaborar una gráfica y compare los resultados.
Solución
Interés del primer
año: S/.10 000 (0.06) = S/.600
Adeudo total después del
primer año:
S/.10 000 + 600 = S/.10
600
Interés del segundo año: S/.10 600 (0.06) = S/.636
Adeudo total después del
segundo año:
S/.10600 + 636 = S/.11
236
Interés del tercer año: S/.11 236 (0.06) = S/.674.16
Adeudo total después del
tercer año:
S/.11 236 + 674.16 =
S/.11 910.16
Cálculo del interés
compuesto
Comparación de los cálculos del interés simple y el interés compuesto
Otra forma más breve de calcular el adeudo total después de tres años consiste en combinar los cálculos en lugar de llevarlos a cabo año por año. El adeudo total por año es:
Año 1: S/. 10 000 (1.06)1 = S/.10 600.00
Año 2: S/.
10 000 (1.06)2 = S/.11 236.00
Año 3: S/.
10 000 (1.06)3 = S/.11 910.16
El total del año 3 se calcula directamente, no se requiere del total del año 2.
Expresado de forma general, el cálculo sería:
Adeudo total después de cierta cantidad de
años
= Principal (1 + Tasa de interés) Número de años
Esta relación fundamental se utilizará repetidas veces en los capítulos siguientes.
Otra forma más breve de
calcular el adeudo total después de tres años consiste en combinar los cálculos
en lugar de llevarlos a cabo año por año. El adeudo total por año es:
Año 1: S/. 10 000 (1.06)1 = S/.10 600.00
Año 2: S/. 10 000 (1.06)2 = S/.11 236.00
Año 3: S/.
10 000 (1.06)3 = S/.11 910.16
El total del año 3 se calcula directamente, no se requiere del total del año 2.
Expresado de forma general, el cálculo sería:
Adeudo total después de cierta cantidad de
años
= Principal (1 + Tasa de interés) Número de años
Esta relación fundamental se utilizará repetidas veces en los capítulos siguientes.
Demuestre la equivalencia con los diferentes
planes de pago de préstamos que se describen en seguida.
En cada plan se rembolsa un préstamo de
S/.8000 en 4 años al 6% de interés anual.
Plan 1: Interés simple; pago del total al final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el final del año 4.
Plan 2: Interés compuestos; pago del total al
final.
No hay pago de interés ni del principal hasta el final del año 4.
Plan 3: Pago anual de interés simple;
rembolso del principal al final. Los intereses acumulados se pagan cada año
y todo el principal se rembolsa al final del año 4.
Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de
parte del principal. Los intereses generados y una cuarta parte del
principal (S/.2 000) se rembolsa cada año. El saldo vigente del préstamo se
reduce cada año, de manera que el interés de cada año disminuye.
Plan 5: Pagos anuales
iguales del interés compuesto y del principal. Se hacen pagos
iguales cada año; una parte se destina al rembolso del principal y el resto
cubre los intereses generados. Como el saldo del préstamo disminuye a un ritmo
menor que en plan 4, entonces con los pagos iguales de fin de año, el interés
disminuye.
Hacer algún comentario sobre la equivalencia
de cada plan al 6% de interés simple o compuesto, según convenga.
Solución
Cálculos del plan 1:
Interés simple a pagar por cada año
= (Principal original) (Tasa de interés)
Adeudo total al final de cada año
= Principal o Adeudo año anterior + Interés a
pagar por año
Cantidad de pago al final del año
= Adeudo total al final del año 4
Adeudo total después del pago
= Adeudo total al final del año
Plan 1
Cálculos del plan 2:
Interés compuesto a pagar por cada año
= (Adeudo total del año anterior) (Tasa de
interés)
Adeudo total al final de cada año
= Principal o Adeudo año anterior + Interés a
pagar por año
Cantidad de pago al final del año
= Adeudo total al final del año 4
Adeudo total después del pago
= Adeudo total al final del año
Plan 2
Cálculos del plan 3:
Interés simple a pagar por cada año
= (Principal original) (Tasa de interés)
Adeudo total al final de cada año
= Adeudo total después de pago + Interés a
pagar por año
Cantidad de pago a fin de año
= Adeudo total fin año – Principal o Adeudo
total después de pago
Cantidad de pago a fin año 4= Adeudo total a
fin de año 4
Adeudo total después del pago
= Adeudo total al final del año – Pago de fin
de año
Plan 3
Cálculos del plan 4:
Interés compuesto a pagar por cada año =
(Adeudo total del año anterior) (Tasa de
interés)
Adeudo total al final de cada año =
Principal o Adeudo total después de pago de
año anterior + Interés a pagar por el año
Cantidad de pago al final del año =
Cuarta parte del principal + Interés a pagar
por el año
Adeudo total después del pago =
Principal o adeudo total después pago año
anterior – 4ª parte principal
Plan 4
Cálculos del plan 5:
Interés compuesto a pagar por cada año =
(Principal o Adeudo total de año anterior)
(Tasa de interés)
Adeudo total al final de cada año =
Principal o Adeudo total después pago año
anterior + Interés a pagar por el año
Cantidad de pago al final del año =
Cantidad anual uniforme para el rembolso del
principal y los intereses generados
Adeudo total después del pago =
Adeudo total al final del año - Pago de fin
de año
Plan 5. Pagos anuales del interés compuesto y
del principal
Los S/.8 000 en el tiempo cero equivalen a:
Plan 1: S/.9 920 al final del año 4 al 6% de
interés simple.
Plan 2: S/10 099.82 al final del año 4 al 6% de
interés compuesto.
Plan 3: S/.480 anuales durante 3 años y S/.8 480 al
final del año 4 al 6% de interés simple
Plan 4: Pagos decrecientes del interés y parciales
del principal en los años 1 (S/.2480) al 4 (S/.2120) al 6% de interés compuesto
Plan 5: S/.2 308.73 anuales por 4 años al 6% de
interés compuesto.
El estudio de ingeniería económica emplea el
plan 5.
Terminología y Símbolos
P = Valor
o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También
se denomina valor presente (VP), valor presente neto (VPN), flujo efectivo
descontado (FED) y costo capitalizado (CC); um.
F = Valor
o cantidad de dinero en un tiempo futuro. también recibe el nombre de valor
futuro (VF); um.
A = Serie
de cantidades de dinero consecutivas, iguales (uniforme) y de final de periodo.
También valor anual (VA) o valor anual uniforme equivalente (VAUE); um por año.
n = Número
de periodos de interés; años, meses, días.
i = tasa
de interés (compuesta) o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual (por
defecto); % diario
t = Tiempo
expresado en periodos; años, meses, días.
Soluciones por Computadora
Valor presente P:
=VA(i%,n,A,F,tipo)
Valor futuro F:
=VF(i%,n,A,P,tipo)
Valor periódico igual A: =PAGO(i%,n,P,F,tipo)
Número de periodos n: =NPER(i%,A,P,F,tipo)
Tasa de interés compuesto i: =TASA(n,A,P,F)
Tasa de interés compuesto i:
=TIR(primera_celda:última_celda,estimar)
Valor presente P de cualquier serie:
=VNA(i%,segunda_celda:última_celda) +
primera_celda
La función debe ir precedida por un signo
igual (=).
tipo es opcional e indica cuando vencen
los pagos, se utiliza 0 u omitido si los pagos vencen al final del periodo y se
utiliza 1 si los pagos vencen al inicio del periodo.
Una persona desea solicitar un préstamo de
$6000 ahora para adquirir un automóvil. Decide que reembolsará todo el
principal más 5% de intereses anuales después de 8 años. Identifique los
símbolos de Ingeniería Económica necesarios y sus valores. Usando expresiones
en Excel calcular la cantidad futura.
Si alguno de los parámetros no es usado se le
puede omitir y si es uno anterior, se debe introducir una coma.
Se introduce la coma en virtud de que no hay
valor para A.
La respuesta S/.-8,864.73 está en color rojo
para indicar una cantidad negativa desde la perspectiva del prestatario.
Suponga que tiene un préstamo de $2000 ahora al 6% anual durante 10 años, y debe reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine los símbolos que se requieren para resolver el problema y sus valores. Usando expresiones en Excel calcular los pagos anuales.
Suponga que tiene un préstamo de $2000 ahora al 6% anual durante 10 años, y debe reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine los símbolos que se requieren para resolver el problema y sus valores. Usando expresiones en Excel calcular los pagos anuales.
Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento
En ingeniería, las alternativas se evalúan
con base en un pronóstico de una TR razonable.
La tasa razonable recibe el nombre de tasa
mínima atractiva de retorno (TMAR) y es superior a la
tasa que ofrece un banco o alguna inversión segura.
La TMAR no es una tasa que se calcule como
una TR, es establecida por la dirección (financiera) y se utiliza como criterio
para valorar la TR de una alternativa, en el momento de tomar decisiones
(aceptación o rechazo)
La palabra capital también recibe el nombre
de fondos de capital y de inversión de capital.
Obtener capital siempre cuesta dinero en
forma de interés
El interés, establecido en la forma de tasa
de porcentaje, recibe el nombre de costo de capital
El capital se obtiene de dos formas:
Financiamiento de patrimonio: La empresa utiliza
sus propios fondos de efectivo a mano, ventas de existencias o utilidades
acumuladas.
Financiamiento de deuda: La empresa obtiene
préstamos de fuentes externas y reembolsa el principal y los intereses de
acuerdo con un programa. Las fuentes de capital que se adeuda pueden ser bonos,
préstamos, hipotecas y otros.
De la combinación del financiamiento de deuda
y el financiamiento de patrimonio resulta el costo promedio ponderado de
capital (CPPC).
La TMAR establecida siempre
deberá cumplir con la siguiente condición:
TIR ≥ TMAR > Costo de capital
Estimación del Flujo de Efectivo
Entradas de efectivo:
rendimientos e ingresos (entradas)
Salidas de efectivo: gastos y costos
(desembolsos).
Estas entradas y salidas son los flujos
de efectivo.
Con un signo más representa las entradas de
efectivo y con un signo menos representa las salidas de efectivo.
Los flujos de efectivo ocurren durante
periodos específicos, tales como un mes o un año.
Estos flujos son estimaciones relativas a un
futuro incierto
Cálculo del flujo de efectivo neto:
Flujo efectivo neto = entradas efectivo –
salidas efectivo
Se efectúan estimaciones puntuales de cada
elemento económico de una alternativa o se pueden hacer estimaciones
estadísticas de rango o de distribución.
Diagramación del Flujo de Efectivo
El diagrama de flujo de efectivo es una
herramienta de análisis económico, especialmente cuando la serie del flujo de
efectivo es compleja.
Es una representación gráfica de los flujos
de efectivo sobre una escala de tiempo.
El diagrama contiene los datos conocidos, los
datos estimados y la información que se necesita.
Regla del 72
Para calcular i o n, dado uno de los valores,
se puede aplicar la regla del 72 para tasas de interés compuesto.
El tiempo n que se requiere para que una única
cantidad inicial se duplique con un interés compuesto i es
aproximadamente igual a:
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